Математический анализ является одной из важнейших дисциплин, которая позволяет решать различные задачи, связанные с изучением функций, уравнений и неравенств. В рамках данной статьи мы рассмотрим процесс установления равносильности двух неравенств и найдем их решения. А именно, нам предстоит решить неравенство x^2 + 7x + 1 > 0 и уравнение x = 7 — 1/x.
Для начала, рассмотрим первое неравенство x^2 + 7x + 1 > 0. Для того чтобы найти его решения, проведем анализ дискриминанта квадратного уравнения. Дискриминант равен D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения. В нашем случае, a = 1, b = 7 и c = 1.
Подставляя значения в формулу, получаем D = 7^2 — 4 * 1 * 1 = 49 — 4 = 45. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Далее, рассмотрим знаки коэффициентов при данных корнях и определим, когда неравенство выполняется. Используя метод интервалов, можно установить, что неравенство x^2 + 7x + 1 > 0 выполняется при -∞ < x < x1 и x2 < x < +∞, где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.
Решение неравенства x^2 + 7x + 1 > 0
Для решения данного неравенства можно воспользоваться графическим методом, методом интервалов или методом знаков.
Исходное неравенство можно преобразовать к виду (x + 1)(x + 1) + 6x > 0.
Далее, рассмотрим знаки элементов выражения.
| Выражение | Знак |
|---|---|
| x + 1 | + |
| x + 1 | + |
| 6x | + |
| (x + 1)(x + 1) + 6x | + |
Исходя из таблицы, знак выражения (x + 1)(x + 1) + 6x > 0 меняется при рассмотрении интервалов:
| Интервал | Знак |
|---|---|
| (-∞, -1) | — |
| (-1, +∞) | + |
Таким образом, решением неравенства x^2 + 7x + 1 > 0 является множество всех значений x, для которых выполнено x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, +∞).
Раскрытие дискриминанта и поиск корней
Для решения неравенства x^2 + 7x + 1 > 0 необходимо применить метод раскрытия дискриминанта и поискать значения переменной x, которые удовлетворяют данному неравенству.
Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac. В данном случае у нас есть квадратное уравнение x^2 + 7x + 1 = 0, поэтому нужно найти его дискриминант.
Подставляем значения a = 1, b = 7 и c = 1 в формулу дискриминанта и получаем:
D = 7^2 — 4 * 1 * 1 = 49 — 4 = 45
Так как дискриминант D = 45 больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Далее, для определения знака значения выражения x^2 + 7x + 1 для каждого корня нужно построить соответствующую таблицу знаков и анализировать интервалы значений переменной x.
Таким образом, на основе данного анализа можно получить множество значений переменной x, для которых выполняется неравенство x^2 + 7x + 1 > 0.
С другой стороны, у нас есть равносильность x = 7 — 1/x. Для ее решения можно преобразовать уравнение, умножив обе его части на x:
x^2 = 7x — 1
Приравниваем полученное квадратное уравнение к нулю и решаем его с помощью раскрытия дискриминанта и поиска корней.
Таким образом, мы можем найти значения переменной x, которые удовлетворяют равенству x = 7 — 1/x, и затем проверить их на соответствие неравенству x^2 + 7x + 1 > 0.
Решение уравнения x = 7 — 1/x
Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом подстановки.
- Предположим, что изначально значение x равно некоторому числу, например, 1.
- Подставим это значение в уравнение и получим 1 = 7 — 1/1. Упростим выражение и получим 1 = 7 — 1, что равно 1 = 6.
- Полученное уравнение не выполняется, следовательно, изначальное предположение о значении x было неверным.
- Повторим шаги 1-3 для других значений x, например, x = 2.
- Подставим значение x = 2 в уравнение и получим 2 = 7 — 1/2. Упростим выражение и получим 2 = 7 — 0,5, что равно 2 = 6,5.
- Полученное уравнение также не выполняется, следовательно, значение x = 2 также не является решением.
- Продолжим подбирать различные значения x и повторять шаги 1-3, пока не найдем значение x, для которого уравнение выполняется.
Таким образом, методом подстановки мы можем найти решение уравнения x = 7 — 1/x путем последовательной проверки различных значений x.
Приведение уравнения к виду x^2 — 7x + 1 = 0 и нахождение корней
Для начала решим уравнение x = 7 — 1/x. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя:
x^2 = 7x — 1
Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
x^2 — 7x + 1 = 0
Используя формулу дискриминанта, найдем корни уравнения:
- D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4(1)(1) = 49 — 4 = 45
- x = (-b ± √D) / 2a
- x₁ = (-(-7) + √45) / 2 = (7 + √45) / 2
- x₂ = (-(-7) — √45) / 2 = (7 — √45) / 2
Таким образом, уравнение x^2 — 7x + 1 = 0 имеет два корня: x₁ = (7 + √45) / 2 и x₂ = (7 — √45) / 2.
Следовательно, установленная равносильность неравенств x^2 + 7x + 1 > 0 и x = 7 — 1/x имеет решение x ∈ ((7 — √45) / 2, (7 + √45) / 2).