Квадратное уравнение – одна из важнейших тем в алгебре. Оно возникает в различных областях науки и имеет широкое применение в решении различных задач. Однако не всегда корни квадратного уравнения могут быть аналитически найдены. В некоторых случаях, особенно при решении уравнений определенных видов, корни квадратного уравнения равны по модулю.
Корни квадратного уравнения называются равными по модулю, если их абсолютные величины равны друг другу. То есть, если имеется квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, то корни будут равны по модулю, если |x1| = |x2|. Однако, чтобы корни были равны по модулю, необходимо выполнение определенных условий.
Рассмотрим пример. Имеется квадратное уравнение x^2 — 4x + 4 = 0. Чтобы его корни были равны по модулю, необходимо и достаточно, чтобы он имел только один корень. В данном случае, получим корень x = 2, а его абсолютная величина равна 2. Таким образом, корни этого уравнения будут равны по модулю.
Условия для корней квадратного уравнения, равных по модулю
1. Оба корня равны нулю.
Если a = 0, то уравнение становится линейным: bx + c = 0. Если b = 0 и c = 0, то уравнение имеет единственный корень x = 0.
2. Оба корня имеют одинаковое значение по модулю.
Если корни равны по модулю, то они должны быть равны или противоположны друг другу. Для этого должно быть выполнено условие: |x1| = |x2|.
3. Оба корня равны по модулю нулю.
Если a = 0, то уравнение становится линейным: bx + c = 0. Если b и c = 0, то уравнение имеет единственный корень x = 0.
В противном случае, корни квадратного уравнения не могут быть равны по модулю.
Когда корни квадратного уравнения равны по модулю?
Корни квадратного уравнения могут быть равны по модулю только в двух случаях:
- Когда дискриминант равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Если D = 0, то корни равны и имеют одинаковый знак.
- Когда все коэффициенты квадратного уравнения равны нулю. В этом случае корни также будут равны нулю по модулю.
Примеры:
Пример 1:
Рассмотрим квадратное уравнение 2x^2 — 4x + 2 = 0.
Вычислим дискриминант: D = (-4)^2 — 4 * 2 * 2 = 16 — 16 = 0.
Так как D = 0, корни будут равны и имеют одинаковый знак.
Пример 2:
Рассмотрим квадратное уравнение 0x^2 + 0x + 0 = 0.
В данном случае все коэффициенты равны нулю, поэтому корни также будут равны нулю по модулю.
Таким образом, чтобы корни квадратного уравнения были равны по модулю, необходимо, чтобы выполнились указанные выше условия.
Какие условия должны выполняться для этого?
Для того чтобы корни квадратного уравнения были равными по модулю, необходимо выполнение следующих условий:
| Уравнение должно быть квадратным: | только уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеют корни. |
| Коэффициент a, являющийся коэффициентом при \( x^2 \), должен быть отличным от нуля: | если \( a = 0 \), тогда уравнение перестает быть квадратным. |
| Дискриминант уравнения должен равняться нулю: | для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант равен \( D = b^2 — 4ac \). Если \( D = 0 \), то корни уравнения будут равными по модулю. |
Например, рассмотрим уравнение \( x^2 — 4x + 4 = 0 \). Дискриминант этого уравнения равен \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \). Значит, у уравнения есть два одинаковых корня: \( x_1 = x_2 = 2 \), которые равны по модулю.
Примеры квадратных уравнений с корнями, равными по модулю
Квадратное уравнение с равными по модулю корнями имеет особую симметрию и может быть записано в виде:
a(x — r)(x + r) = 0,
где a — коэффициент при x, а r — корень уравнения.
Приведем несколько примеров квадратных уравнений с равными по модулю корнями:
x^2 — 9 = 0
В данном случае a = 1 и r = 3. Записываем уравнение в виде (x — 3)(x + 3) = 0.
Таким образом, корни равны по модулю 3.
4x^2 — 16 = 0
В данном случае a = 4 и r = 2. Записываем уравнение в виде 4(x — 2)(x + 2) = 0.
Таким образом, корни равны по модулю 2.
9x^2 — 36 = 0
В данном случае a = 9 и r = 3. Записываем уравнение в виде 9(x — 3)(x + 3) = 0.
Таким образом, корни равны по модулю 3.
Таким образом, при решении квадратных уравнений с равными по модулю корнями, можно использовать специфическую форму записи, которая упрощает решение и позволяет найти значения корней.
Как проверить, что корни действительно равны по модулю?
Чтобы убедиться, что корни квадратного уравнения равны по модулю, нужно выполнить следующие шаги:
- Найдите значения корней квадратного уравнения. Обозначим их как x1 и x2.
- Вычислите модуль каждого корня с помощью функции abs() в языке программирования или вручную, сравнивая с нулем.
- Проверьте полученное решение на правильность, подставив найденные корни обратно в исходное уравнение и проверив его равенство.
Пример:
Рассмотрим квадратное уравнение x^2 — 6x + 9 = 0. Найдем его корни:
D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4*1*9 = 36 — 36 = 0.
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень.
x = -b / 2a = -6 / (2*1) = -6 / 2 = -3.
Корень квадратного уравнения равен -3.
Проверяем корень:
|x| = |-3| = 3.
Корень равен 3 по модулю, что подтверждает его равенство по модулю.