Сократимая дробь — это дробь, которую можно упростить до несократимого вида, то есть до дроби, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.
Чтобы найти количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729, нужно определить, сколько сократимых дробей есть с каждым возможным числителем.
Числитель сократимой дроби может быть любым числом от 1 до 728, кроме кратных 3 или чисел, которые имеют общие делители с 729 (3^6). Если числитель кратен 3 или имеет общие делители с 729, то такая дробь не сократима.
Таким образом, количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729 можно найти, вычтя из общего количества правильных дробей с знаменателем 729 (728), количество дробей, которые не удовлетворяют указанным условиям. Остающееся число будет являться искомым количеством сократимых дробей.
Количество сократимых дробей с знаменателем 729
Чтобы найти все такие числители, необходимо разложить число 729 на простые множители: 729 = 3^6. Затем необходимо вычесть из показателя степени каждого простого делителя 1, чтобы получить количество вариантов для соответствующего простого делителя: 6-1 = 5.
Таким образом, каждый простой делитель числа 729 может быть использован в качестве числителя для сократимых дробей. Таких простых делителей 729 имеет три: 3, 3^2 (9) и 3^3 (27).
Таким образом, количество сократимых дробей с знаменателем 729 составляет 3.
| Числитель |
|---|
| 3 |
| 9 |
| 27 |
Узнайте количество сократимых дробей!
Задача состоит в том, чтобы определить количество сократимых правильных дробей с знаменателем 729. Для этого нужно найти все числа от 1 до 728, которые взаимно просты с числом 729. Взаимно простыми называются числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1.
Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Найдите все простые числа, которые меньше или равны корню квадратному из 729. В данном случае это число 27.
- Для каждого простого числа проверьте, делится ли 729 на это число без остатка. Если да, то исключите его из списка.
- Оставшиеся простые числа являются делителями 729. Для каждого числа проверьте, есть ли другие делители числа, исключая 1 и само число. Если есть, исключите это число из списка.
- Оставшиеся числа составляют все сократимые дроби с знаменателем 729.
| Простые числа, меньшие или равные 27: | Список сократимых дробей: |
|---|---|
| 2 | 1/729 |
| 3 | 1/243 |
| 5 | 1/7290 |
| 7 | 1/5103 |
| 11 | 1/3321 |
| 13 | 1/2430 |
| 17 | 1/1701 |
| 19 | 1/1539 |
| 23 | 1/1197 |
Таким образом, количество сократимых дробей с знаменателем 729 равно 9.
Разложение числа 729 на простые множители
Чтобы разложить число 729 на простые множители, мы начнем проверять его на делимость наименьшими простыми числами: 2, 3, 5, и так далее.
В случае числа 729, оно не делится на 2 без остатка, поэтому мы продолжим дальше. Но оно делится на 3 без остатка:
729 ÷ 3 = 243
Теперь мы проверяем число 243 на делимость простым числом 3:
243 ÷ 3 = 81
Продолжая этот процесс, мы получаем:
81 ÷ 3 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
Заметим, что число 3 является простым множителем, поскольку оно не может быть разложено на меньшие простые числа.
Таким образом, разложение числа 729 на простые множители выглядит следующим образом: 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3.
Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы рассчитать количество сократимых дробей с знаменателем 729.
Учитывая, что у нас есть шесть простых множителей 3, мы можем сократить любую дробь с знаменателем 729, деля его на 3. Таким образом, количество сократимых дробей будет равно 6.