Как решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом — эффективное решение и практические примеры

Квадратные уравнения – это одна из самых известных и широко используемых категорий уравнений в математике. Они имеют вид ax² + bx + c = 0, где a, b и c – это коэффициенты уравнения, а переменная x – неизвестное. Решение квадратных уравнений может быть не всегда тривиальным, особенно если дискриминант, то есть значение b² — 4ac, отрицательное.

Отрицательный дискриминант означает, что уравнение не имеет корней в обычных вещественных числах. Однако, можно использовать комплексные числа, чтобы найти решение квадратного уравнения в этом случае. Комплексные числа состоят из действительной и мнимой части, и обычно обозначаются как a + bi, где a и b – это вещественные числа, а i – это мнимая единица, которая определяется как i² = -1.

Для решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом, первым шагом является вычисление квадратного корня от абсолютной величины дискриминанта. Затем, используя полученное значение, мы можем записать решение в комплексной форме, где одно решение будет иметь вид x = (-b + √(-D))/2a, а другое решение будет иметь вид x = (-b — √(-D))/2a, где D – это значение дискриминанта.

Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

Если значение дискриминанта D отрицательно (D < 0), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Однако, его решение можно найти, используя комплексные числа.

При наличии отрицательного дискриминанта, решение квадратного уравнения можно найти по формуле:

• x1 = (-b + √(-D)) / (2a)
• x2 = (-b — √(-D)) / (2a)

где √(-D) является комплексным числом. Здесь x1 и x2 представляют собой два комплексных корня уравнения.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x^2 + 4x + 4 = 0. При решении данного уравнения получаем: a = 1, b = 4 и c = 4. Вычисляем дискриминант D = 4^2 — 4(1)(4) = 16 — 16 = 0. Таким образом, дискриминант отрицателен.

Применяя ранее описанную формулу для нахождения корней, получаем:

• x1 = (-4 + √(-0)) / (2 * 1) = -2
• x2 = (-4 — √(-0)) / (2 * 1) = -2

Таким образом, уравнение имеет два одинаковых комплексных корня -2.

Как решить?

Если значение дискриминанта D отрицательное, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни. Чтобы найти комплексные корни, можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

x1 = (-b + √(-D))/(2a),

x2 = (-b — √(-D))/(2a).

Где √(-D) — комплексная единица, такая что (√(-D))^2 = -D.

Например, рассмотрим квадратное уравнение 2x^2 + 4x + 3 = 0. Дискриминант можно вычислить следующим образом: D = 4^2 — 4 * 2 * 3 = 16 — 24 = -8.

Поскольку D отрицательный, уравнение имеет комплексные корни. Вычислим значения комплексных корней с использованием формулы:

x1 = (-4 + √(-(-8)))/(2 * 2) = (-4 + 2√2i)/4 = -1 + √2i,

x2 = (-4 — √(-(-8)))/(2 * 2) = (-4 — 2√2i)/4 = -1 — √2i.

Таким образом, корни квадратного уравнения 2x^2 + 4x + 3 = 0 являются комплексными числами -1 + √2i и -1 — √2i.

Примеры решения

Рассмотрим несколько примеров решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом:

1. Уравнение: x^2 + 3x + 2 = 0

Решение:

• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(2) = 1
• Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня
• Вычисляем корни уравнения с помощью формулы: x = (-b ± √D) / 2a
• Подставляем значения:
  • Корень 1: x = (-3 + √1) / 2(1) = (-3 + 1) / 2 = -1
  • Корень 2: x = (-3 - √1) / 2(1) = (-3 - 1) / 2 = -2
• Ответ: уравнение имеет два корня: x = -1 и x = -2
2. Уравнение: 2x^2 + 5x + 3 = 0

Решение:

• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(3) = 1
• Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня
• Вычисляем корни уравнения с помощью формулы: x = (-b ± √D) / 2a
• Подставляем значения:
  • Корень 1: x = (-5 + √1) / 2(2) = (-5 + 1) / 4 = -1
  • Корень 2: x = (-5 - √1) / 2(2) = (-5 - 1) / 4 = -3/2
• Ответ: уравнение имеет два корня: x = -1 и x = -3/2
3. Уравнение: x^2 + 6x + 9 = 0

Решение:

• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0
• Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень
• Вычисляем корень уравнения с помощью формулы: x = -b / 2a
• Подставляем значения:
  • Корень: x = -6 / 2(1) = -6 / 2 = -3
• Ответ: уравнение имеет один корень: x = -3