Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 125, знаменателем 25 и коэффициентом 5 — методика расчета и примеры

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на некоторое число, называемое знаменателем прогрессии. Одной из важных задач при работе с геометрической прогрессией является нахождение суммы его членов.

Прогрессия, заданная условиями с первым членом 125, знаменателем 25 и прогрессией 5, может быть представлена как последовательность чисел 125, 625, 3125, 15625 и так далее. Чтобы найти сумму всех членов такой геометрической прогрессии, следует использовать специальную формулу.

Формула для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

S = a / (1 — r)

Где S — сумма прогрессии, a — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии.

Определение формулы суммы геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена с помощью следующей формулы:

где:

• S — сумма геометрической прогрессии
• a — первый член прогрессии
• r — знаменатель прогрессии

Для нашего примера, где первый член прогрессии равен 125, знаменатель равен 25 и прогрессия равна 5, мы можем подставить значения в формулу:

Итак, сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 125, знаменателем 25 и прогрессией 5 равна -31.25.

Понятие и свойства геометрической прогрессии

В общем виде геометрическую прогрессию можно записать как a, a*r, a*r^2, a*r^3, …, где a — первый член прогрессии, r — знаменатель или множитель.

Свойства геометрической прогрессии:

• Знаки членов прогрессии устанавливаются в соответствии с выбранным знаком первого члена прогрессии.
• Модуль знаменателя прогрессии должен быть меньше 1, чтобы прогрессия сходилась, иначе она будет расходиться.
• Если |r| < 1, то сумма всех членов прогрессии имеет конечное значение и может быть найдена по формуле: S = a / (1 - r).
• Если |r| ≥ 1, то прогрессия расходится и сумма всех членов прогрессии не имеет конечного значения.

Геометрическая прогрессия широко используется в математике, физике, экономике и других науках для описания множества явлений и процессов. Понимание понятия и свойств геометрической прогрессии позволяет решать различные задачи и совершенствовать аналитические навыки.

Определение суммы бесконечной геометрической прогрессии

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии с известным первым членом (a) и знаменателем (r), необходимо удовлетворять условию сходящейся прогрессии, то есть модуль знаменателя должен быть меньше единицы (|r| < 1).

Формула для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:

S = a / (1 — r)

Где S — сумма прогрессии, a — первый член прогрессии и r — знаменатель.

Например, если первый член (a) равен 125, знаменатель (r) равен 25 и прогрессия (q) равна 5, мы можем использовать эту формулу для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = 125 / (1 — 25)

Подсчитаем:

S = 125 / (-24)

S = -5.2083333…

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 125, знаменателем 25 и прогрессией 5 равна примерно -5.2083333…

Вычисление суммы бесконечной геометрической прогрессии с заданными параметрами

Бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на некоторое число, называемое знаменателем. Для вычисления суммы такой прогрессии существует формула:

S = a / (1 — r),

где:

• S — сумма бесконечной геометрической прогрессии;
• a — первый член прогрессии;
• r — знаменатель прогрессии.

В данном случае, для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 125, знаменателем 25 и прогрессией 5, подставим соответствующие значения в формулу:

S = 125 / (1 — 5)

Поскольку знаменатель прогрессии больше 1, то эта последовательность расходится, и сумма не существует.

Таким образом, в данном случае сумма бесконечной геометрической прогрессии не определена.

Пример расчета суммы геометрической прогрессии

Данная ГП описывается следующим образом:

Первый член (a₁) = 125

Знаменатель (q) = 25

Прогрессия (r) = 5

Рассмотрим формулу для расчета суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S_inf = a₁ / (1 — q)

Где S_inf — сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Подставляя значения a₁, q и r в формулу, получим:

S_inf = 125 / (1 — 25)

S_inf = 125 / (-24)

Так как знаменатель отрицательный, значит сумма бесконечной геометрической прогрессии расходится.

Для нахождения суммы конечной геометрической прогрессии, используется формула:

S_n = a₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q)

Где S_n — сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Если нам необходимо найти сумму первых n членов данной ГП, подставляем значения a₁, q и n в формулу:

S_n = 125 * (1 — 25ⁿ) / (1 — 25)