Функция распределения дискретной случайной величины f(x) определяется как вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее или равное x. Иными словами, функция распределения позволяет нам вычислить вероятность появления значения случайной величины, не превышающего заданное значение.
Свойства функции распределения дискретной случайной величины включают следующие: она неотрицательна для всех значений x, функция возрастающая (то есть монотонно неубывающая), она ограничена сверху единицей и предельные значения ее функции распределения равны нулю при x, стремящемся к минус бесконечности, и единице при x, стремящемся к плюс бесконечности.
Функция распределения дискретной случайной величины
Функция распределения обозначается F(x) и определена для каждого значения x, принимаемого случайной величиной, при этом выполняются следующие условия:
- F(x) >= 0 для любого x.
- F(x) <= 1 для любого x.
- F(x) монотонно не убывает.
Таблица, построенная на основе функции распределения, называется таблицей распределения или таблицей вероятностей.
| Значение случайной величины | Вероятность | F(x) |
|---|---|---|
| x1 | P(X = x1) | F(x1) = P(X <= x1) |
| x2 | P(X = x2) | F(x2) = P(X <= x2) |
| x3 | P(X = x3) | F(x3) = P(X <= x3) |
| … | … | … |
Зная функцию распределения, можно определить вероятность того, что случайная величина примет значение в заданном интервале. Для этого нужно вычислить разность значений функции распределения в конечных точках интервала.
Функция распределения дискретной случайной величины играет важную роль при решении различных задач, связанных с теорией вероятностей и статистикой. Она позволяет оценить вероятность того или иного события, связанного с случайной величиной, и провести различные статистические анализы.
Определение и основные свойства
Функция распределения обозначается F(x) и определяется для всех возможных значений x как:
| x | F(x) |
| x1 | P(X ≤ x1) |
| x2 | P(X ≤ x2) |
| … | … |
| xn | P(X ≤ xn) |
где P(X ≤ x) обозначает вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превышающее x.
Основные свойства функции распределения:
- Функция распределения всегда неубывающая.
- То есть, с увеличением значения x, значение функции распределения либо не уменьшается, либо остается неизменным.
- Функция распределения принимает значения от 0 до 1.
- То есть, вероятность P(X ≤ x) всегда находится в интервале от 0 до 1.
- В точках разрыва функция распределения принимает значения, которые являются вероятностями.
- То есть, если значение x является точкой разрыва функции распределения, то значение F(x) равно вероятности того, что случайная величина X примет значение x.
- В пределе, при x, стремящемся к бесконечности, функция распределения стремится к 1.
- То есть, вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превышающее любое фиксированное число, стремится к 1 по мере увеличения этого числа.
Зная функцию распределения, можно вычислить вероятности различных событий, связанных с дискретной случайной величиной, а также проводить различные статистические анализы.