Как найти дифференциал функции — примеры решения

Введение

Процесс нахождения дифференциала функции является одним из основных понятий дифференциального исчисления. Дифференциал функции позволяет определить скорость изменения функции в окрестности точки и применяется во многих областях науки и техники.

Формула дифференциала функции

Дифференциал функции f(x) определяется формулой:

df(x) = f'(x) * dx

где df(x) — дифференциал функции, f'(x) — производная функции, dx — изменение аргумента функции.

Примеры решения

Рассмотрим несколько примеров нахождения дифференциала функции.

Пример 1

Найти дифференциал функции f(x) = x^2.

Решение:

1. Найдем производную функции f'(x).

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

f'(x) = 2 * x

2. Умножим производную на изменение аргумента.

Мы предполагаем, что dx = Δx, где Δx — бесконечно малое изменение аргумента функции.

Подставляем значения в формулу дифференциала:

df(x) = 2 * x * dx

Пример 2

Найти дифференциал функции f(x) = sin(x).

Решение:

1. Найдем производную функции f'(x).

Используя правило дифференцирования тригонометрической функции, получаем:

f'(x) = cos(x)

2. Умножим производную на изменение аргумента.

Мы предполагаем, что dx = Δx, где Δx — бесконечно малое изменение аргумента функции.

Подставляем значения в формулу дифференциала:

df(x) = cos(x) * dx

Пример 3

Найти дифференциал функции f(x) = ln(x).

Решение:

1. Найдем производную функции f'(x).

Используя правило дифференцирования логарифмической функции, получаем:

f'(x) = 1 / x

2. Умножим производную на изменение аргумента.

Мы предполагаем, что dx = Δx, где Δx — бесконечно малое изменение аргумента функции.

Подставляем значения в формулу дифференциала:

df(x) = (1 / x) * dx

Заключение

Нахождение дифференциала функции позволяет определить скорость изменения функции в окрестности точки. Процесс нахождения дифференциала функции основан на нахождении производной функции и умножении ее на изменение аргумента.

Примеры решения дифференциала функции

Для нахождения дифференциала функции необходимо использовать правила дифференцирования и определение производной.

Рассмотрим пример функции f(x) = 3x^2 — 2x + 5.

1. Чтобы найти дифференциал функции f(x), необходимо продифференцировать каждый член функции по отдельности.

Дифференциал первого члена: d(3x^2) = 6x.

Дифференциал второго члена: d(-2x) = -2.

Дифференциал третьего члена: d(5) = 0.

2. Затем сложим полученные дифференциалы, чтобы найти дифференциал функции:

df(x) = 6x — 2.

Таким образом, дифференциал функции f(x) равен 6x — 2.

Решив пример, мы получили дифференциал функции f(x). Это позволяет нам определить, как изменяется функция при изменении аргумента x.