Многоугольники - одна из основных геометрических фигур, с которыми мы знакомы с самого начала обучения математике. Интересно, что сумма углов любого выпуклого многоугольника всегда равна постоянной величине - 360 градусов.
Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим пример. Представьте, что вы находитесь на вершине какого-либо многоугольника. Вы стоите там и смотрите на его стороны и углы. Если вы повернетесь на одну из сторон, например на 90 градусов, то ваш взгляд будет направлен внутрь многоугольника, а сумма углов многоугольника увеличится на 90 градусов. Затем, повернувшись на еще одну сторону, вы увидите второй угол, не имеющий общую вершину с предыдущим углом. Снова повернувшись, вы увидите третий угол, и так далее. Каждый раз, поворачиваясь на новый угол, вы увеличиваете сумму углов многоугольника.
Когда вы окажетесь на вершине начального угла, вам придется сделать полный оборот, равный 360 градусам, чтобы вернуться в исходное положение. За время полного оборота сумма углов многоугольника увеличивается от первого угла, через все углы до последнего, которое равно исходному углу. Поэтому, сумма углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов.
Причина 1
Углы многоугольника образуют вершины, которые соединены ребрами. Каждое ребро является отрезком, который представляет собой линейный путь между двумя вершинами. При этом каждое ребро имеет свое направление и угол наклона.
Все углы многоугольника могут быть разделены на две категории: внутренние и внешние углы. Внутренний угол образуется двумя смежными ребрами, когда они пересекаются внутри многоугольника. Внешний угол образуется продолжением одного из ребер многоугольника и другим ребром, принадлежащим многоугольнику, но не являющимся его продолжением.
Сумма всех внутренних углов многоугольника равна 180°. Это свойство следует из того, что при пересечении двух прямых получаем две смежные углы, которые в сумме дают 180°.
Таким образом, для многоугольника с n углами сумма всех внутренних углов равна (n - 2) × 180°.
Также, внешний угол многоугольника и внутренний угол между смежными ребрами образуют линейную пару, которая составляет 180°. Это свойство следует из того, что линейные пары образуются пересечением линий и захватывают все углы в этом пересечении.
Таким образом, для многоугольника с n углами, сумма всех внешних углов равна 360°.
В итоге, объединяя эти две суммы, получаем, что сумма всех углов выпуклого многоугольника равна (n - 2) × 180° + 360° = 180° × n.
Физическое объяснение
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов потому, что выпуклый многоугольник можно считать замкнутым циклом, состоящим из ребер и углов. Когда замкнутый цикл проходит полный оборот, он «поворачивает» на 360 градусов. Из-за геометрических свойств выпуклого многоугольника, его углы внутри цикла также должны суммироваться до 360 градусов.
Чтобы проиллюстрировать это, давайте представим, что мы действительно изготовили выпуклый многоугольник из упругого материала, такого как резинка. Когда мы будем растягивать многоугольник, его углы будут отклоняться от нормальных значений. Когда мы отпустим многоугольник и он вернется в исходное положение, все углы будут возвращены к своим исходным значениям, и их сумма будет равна 360 градусов.
Такая особенность выпуклого многоугольника связана с тем, что каждое ребро в многоугольнике создает две дельты углов - одну по каждому концу ребра. В результате, когда мы соединяем все эти дельты в непрерывный цикл, они суммируются до 360 градусов.
| Ребро | Дельта угла |
|---|---|
| 1 | 45° |
| 2 | 90° |
| 3 | 135° |
| ... | ... |
| n | ... |
| Итого | 360° |
Таким образом, физический аспект выпуклого многоугольника объясняет, почему его углы внутри цикла суммируются до 360 градусов, и почему это является уникальным свойством таких фигур.
Причина 2: Свойства углов и связь с количеством сторон
Для каждого угла в многоугольнике существует диагональ, которая соединяет две неконцевые смежные стороны и не пересекает остальные стороны.
Если мы нарисуем все диагонали в многоугольнике, то мы получим некоторое количество треугольников. Количество треугольников равно количеству сторон минус 2.
Известно, что сумма углов внутри любого треугольника равна 180 градусов. Если у нас есть n треугольников, то их суммарная угловая мера равна 180n градусов.
Таким образом, сумма углов в многоугольнике равна 180n градусов, где n - количество треугольников.
Но мы уже установили, что количество треугольников равно количеству сторон минус 2. То есть n = k - 2, где k - количество сторон многоугольника.
Подставив данное выражение для n в формулу для суммы углов, получим следующее равенство:
Сумма углов = 180(k - 2) градусов
Упрощая данное выражение, получим:
Сумма углов = 180k - 360 градусов
Геометрическое рассуждение
Для понимания, почему сумма углов выпуклого многоугольника равна 360, можно провести некоторые геометрические рассуждения.
Рассмотрим такой многоугольник и возьмем точку внутри него. Из этой точки проведем линии, соединяющие ее с каждой вершиной многоугольника. Получится набор треугольников. Заметим, что сумма углов одного треугольника всегда равна 180 градусам.
 |  |
Количество треугольников будет на единицу меньше количества вершин многоугольника. Поэтому, если у многоугольника n вершин, то количество треугольников будет равно n - 1. Следовательно, сумма углов всех треугольников будет равна (n - 1) * 180 градусов.
Однако все углы внутри многоугольника не равны 180 градусам, так как они являются его углами. Углы внутри многоугольника меньше 180 градусов, поэтому сумма углов треугольников, составляющих многоугольник, будет меньше (n - 1) * 180 градусов.
Но если мы добавим внутрь многоугольника еще один такой же многоугольник, то сумма углов треугольников, образованных этими двумя многоугольниками, будет равна (n - 1) * 180 градусов.
Таким образом, мы можем продолжать добавлять внутрь многоугольника по многоугольнику, каждый раз увеличивая сумму углов на (n - 1) * 180 градусов. И в итоге, когда мы достигнем последнего многоугольника (который будет состоять из двух вершин и отрезка между ними), сумма углов будет равна (n - 1) * 180 градусов.
Но мы добавили еще два угла на вершинах последнего многоугольника (каждый равен 180 градусов). Поэтому, чтобы получить сумму углов всего многоугольника, надо к (n - 1) * 180 градусов прибавить 2 * 180 градусов, что равно 360 градусам.
