Квадратные уравнения играют важную роль в математике и ее приложениях. Они встречаются в различных областях знаний, от физики до экономики. Решение квадратного уравнения может помочь найти значения переменных в задачах реального мира и предсказать будущие события. Однако, есть особый случай, когда дискриминант равен нулю, и он требует особого внимания.
Дискриминант — это число, которое вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac . Если дискриминант равен нулю, то это означает, что уравнение имеет только один действительный корень. Это означает, что квадратное уравнение пересекает ось х в одной точке. Значение икс в этом случае можно найти с помощью формулы x = -b/2a.
Такое решение возникает, когда график уравнения является параболой, которая касается оси х, но не пересекает ее. В этом случае, уравнение имеет только один корень, который является вершиной параболы. Это означает, что квадратное уравнение имеет решение, но оно будет иметь нулевую ширину.
Значение икс при дискриминанте равном нулю
Если дискриминант равен нулю (D = 0), то квадратное уравнение имеет один корень. Это означает, что уравнение имеет два одинаковых корня, которые совпадают, то есть x1 = x2 = -b/2a. В этом случае уравнение является так называемым квадратным трехчленом полного квадрату (a(x+b/2a)^2).
Значение икс при дискриминанте равном нулю часто встречается при решении квадратных уравнений. Оно означает, что у уравнения есть одно решение, которое является действительным числом. Это может быть полезно при решении задач, где требуется найти точку пересечения графика квадратного уравнения с осью ординат или анализировать поведение функции в окрестности этой точки.
Определение понятия
Значение икс при дискриминанте равном нулю можно найти с помощью формулы, заданной для корней квадратного уравнения:
- Если дискриминант равен нулю (D = 0), то значение икс можно найти по формуле: x = -b / (2a), где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения.
Найденное значение икс позволяет понять, что корень у квадратного уравнения есть и он будет равен этому значению. В контексте математических решений, значение икс при дискриминанте равном нулю показывает особый случай, при котором уравнение имеет только один действительный рациональный корень.
Решение квадратного уравнения с нулевым дискриминантом
Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле: D = b^2 — 4ac.
Если дискриминант равен нулю, то это значит, что уравнение имеет только один корень. Этот корень можно найти с помощью формулы: x = -b/2a.
Таким образом, если дискриминант равен нулю, то решение квадратного уравнения будет одно уникальное значение для переменной x.
Геометрическая интерпретация
Геометрическая интерпретация решения квадратного уравнения с дискриминантом, равным нулю, заключается в нахождении точки пересечения параболы, заданной уравнением, с осью абсцисс.
Исходное квадратное уравнение имеет вид:
ax2 + bx + c = 0
где a, b и c — коэффициенты данного уравнения. Дискриминант D определяется по формуле:
D = b2 — 4ac
Если D = 0, то уравнение имеет единственное действительное решение:
x = -b / (2a)
Это решение соответствует точке пересечения параболы с осью абсцисс. Графически, это значит, что парабола касается оси абсцисс в данной точке. Такая ситуация встречается, когда дискриминант равен нулю.
Например, если уравнение имеет вид x2 — 4x + 4 = 0, то его дискриминант равен нулю:
D = (-4)2 — 4 * 1 * 4 = 0
Единственное решение уравнения равно x = 2, что означает, что парабола, заданная данной функцией, касается оси абсцисс в точке x = 2.
Таким образом, геометрическая интерпретация решения квадратного уравнения с дискриминантом, равным нулю, позволяет определить точку касания параболы с осью абсцисс.
Особый случай
Когда дискриминант равен нулю, это означает, что уравнение имеет ровно одно решение. Такое квадратное уравнение называется «уравнением с кратным корнем».
Соответствующее решение можно найти по формуле:
x = -b/(2*a)
где a, b и c — коэффициенты уравнения.
Если значение дискриминанта равно нулю, это говорит о том, что вершина параболы, заданной уравнением, лежит на оси x. Таким образом, в этом случае уравнение имеет единственный корень, который является вершиной параболы и является кратным корнем.
Наличие особого случая с дискриминантом, равным нулю, позволяет нам более точно анализировать и понимать геометрическое представление квадратного уравнения.
Примеры решений
Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как находить значения икс при дискриминанте, равном нулю.
Пример 1:
Дано квадратное уравнение: 2x2 + 4x + 2 = 0
Вычислим дискриминант: D = b2 — 4ac = 42 — 4(2)(2) = 16 — 16 = 0
Так как дискриминант равен нулю, у нас будет одно решение.
Используем формулу: x = -b / (2a) = -4 / (2*2) = -4 / 4 = -1
Ответ: x = -1
Пример 2:
Дано квадратное уравнение: x2 + 6x + 9 = 0
Вычислим дискриминант: D = b2 — 4ac = 62 — 4(1)(9) = 36 — 36 = 0
Дискриминант равен нулю, поэтому у нас будет одно решение.
Используем формулу: x = -b / (2a) = -6 / (2*1) = -6 / 2 = -3
Ответ: x = -3
Пример 3:
Дано квадратное уравнение: 4x2 — 4x + 1 = 0
Вычислим дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4(4)(1) = 16 — 16 = 0
Дискриминант равен нулю, поэтому у нас будет одно решение.
Используем формулу: x = -b / (2a) = -(-4) / (2*4) = 4 / 8 = 0.5
Ответ: x = 0.5