Полином Жегалкина – это математический инструмент, который позволяет представить функцию логического значения в виде алгебраического выражения. Он является набором мономов, объединенных операцией сложения.
1. Построение таблицы истинности
Прежде чем начать строить полином Жегалкина, необходимо составить таблицу истинности для анализируемой функции. В таблице истинности мы перечисляем все возможные комбинации входных переменных и соответствующие им значения функции. Например, для функции AND (логического «И») с двумя входными переменными A и B, таблица истинности будет следующей:
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
2. Построение полинома Жегалкина
Полином Жегалкина строится по таблице истинности путем выбора мономов, которые будут участвовать в алгебраическом выражении. Мономом называется произведение входных переменных, причем каждая переменная может быть включена в моном в противоположном состоянии (например, A или ¬A).
Продолжая пример с функцией AND, построим полином Жегалкина для неё:
Полином Жегалкина для AND
Полином Жегалкина будет иметь следующий вид:
- ¬A ∧ ¬B
Но также существует альтернативная форма записи полинома Жегалкина, которая использует только операцию сложения и отрицания:
Альтернативная форма полинома Жегалкина для AND
Полином Жегалкина будет иметь следующий вид:
- ¬A + ¬B
Таким образом, мы получили полином Жегалкина для функции AND, который можно использовать для решения различных логических задач.
Точно так же можно построить полином Жегалкина для других логических функций, используя таблицу истинности и применяя правила построения мономов.
Важно отметить, что полином Жегалкина является единственным алгебраическим выражением, которое максимально точно описывает таблицу истинности функции. Это делает его полезным инструментом в области цифрового дизайна и компьютерных симуляций.
Построение полинома Жегалкина: шаги и примеры
Шаги построения полинома Жегалкина:
- Создайте таблицу истинности для заданной логической функции. В таблице перечислите все возможные варианты значений переменных и вычислите значения функции для каждого из них.
- Найдите наборы переменных, при которых функция принимает значение 1. Они помогут вам составить полином Жегалкина.
- Выпишите все наборы переменных в таблице, где функция принимает значение 1, и примените к ним операцию логического сложения.
- Если число слагаемых в полученном выражении больше 1, упростите его по законам алгебры логики. Для этого можно использовать законы дистрибутивности, ассоциативности и коммутативности.
- Выразите результат упрощения выражения в виде полинома Жегалкина.
Пример построения полинома Жегалкина:
Допустим, у нас есть таблица истинности для логической функции F:
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Наборы переменных, при которых функция F принимает значение 1, это (0,0,0), (1,0,0) и (1,1,0). Применим операцию логического сложения к этим наборам переменных: (0,0,0) + (1,0,0) + (1,1,0)
Далее упростим полученное выражение: (0,0,0) + (1,0,0) + (1,1,0) = (0,0,0) + (1,0,0)
Выразим упрощенное выражение в виде полинома Жегалкина: (0,0,0) + (1,0,0) = 1 + A